Question

如圖，幾何體EF-ABCD中，CDEF為邊長為2的正方形，ABCD為直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．
（1）求異面直線DF和BE所成角的大小；
（2）求幾何體EF-ABCD的體積．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）根據(jù)幾何體的特征，建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量

DF

，

BE

的坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)運算求異面直線所成角的余弦值，可得角的大��；
（2）利用幾何體的體積V=V_E-ABCD+V_B-CEF，分別求得兩個棱錐的底面面積與高，代入棱錐的體積公式計算．

解答： 解：（1）∵AD⊥DF，AD⊥DC，DC∩DF=D，∴AD⊥平面CDF，∴AD⊥DE，又四邊形CDEF為正方形，
∴AD，DC，DE所在直線相互垂直，故以D為原點，DA，DC，DE所在直線
分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

可得D（0，0，0），F(xiàn)（0，2，2），B（2，4，0），E（0，0，2），
∴

DF

=(0，2，2)，

BE

=(-2，-4，2)，
得|

DF

|=2

2

，|

BE

|=2

6

．
設(shè)向量

DF

，

BE

夾角為θ，則cosθ=

DF • BE

| DF |•| BE |

=

0•(-2)+2•(-4)+2•2

2 2 •2 6

=-

3

6

．
∵異面直線的夾角范圍為(0，

π

2

]，
∴異面直線DF和BE所成的角為arccos

3

6

；                    
（2）如圖，連結(jié)EC，過B作CD的垂線，垂足為N，則BN⊥平面CDEF，且BN=2．

∵V_EF-ABCD=V_E-ABCD+V_B-ECF=

1

3

S△ABCD•DE+

1

3

S△EFC•BN=

1

3

•

1

2

•(4+2)•2•2+

1

3

•

1

2

•2•2•2=

16

3

．
∴幾何體EF-ABCD的體積為

16

3

．

點評：本題考查了異面直線所成角的求法，組合幾何體體積的計算，考查了學(xué)生的空間想象能力與運算能力，本題采用了向量法求異面直線所成的角，另外本題也可利用作平行線，證角，解三角形求角來求．