設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足:對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0恒成立.
(1)判斷f(x)的奇偶性及單調(diào)性,并對(duì)f(x)的奇偶性結(jié)論給出證明;
(2)若函數(shù)f(x)在[-3,3]上總有f(x)≤6成立,試確定f(1)應(yīng)滿足的條件;
(3)解x的不等式
1
n
f(x2)-f(x)>
1
n
f(ax)-f(a)
(n是一個(gè)給定的正整數(shù),a∈R).
分析:(1)令x=y=0,則可得f(0)=0;再令b=-x,即可證明f(x)是奇函數(shù),設(shè)x1>x2,由已知可得f(x1-x2)<0,再利用f(x+y)=f(x)+f(y)及減函數(shù)的定義即可證明;
(2)由單調(diào)性可求出f(x)在[-3,3]上的最大值為f(-3),已知不等式可轉(zhuǎn)化為f(-3)≤6,再由已知建立f(1)和f(-3)的聯(lián)系即可;
(3)不等式
1
n
f(x2)-f(x)>
1
n
f(ax)-f(a)
,變形為f(x2)-f(ax)>n[f(x)-f(a)],利用已知恒等式可以變形為f(x2-ax)>f[n(x-a)],由(2)中的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為x2-ax<n(x-a),按照二次不等式兩根的大小進(jìn)行分類討論解不等式即可.
解答:解:(1)f(x)為奇函數(shù),證明如下:
∵對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,
∴令x=y=0,則f(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0,
再令y=-x,則f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),
故f(x)為奇函數(shù);
f(x)為R上的減函數(shù),證明如下:
設(shè)x1>x2,則f(x1)-f(x2)=f(x1-x2),
∵當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0恒成立,且x1-x2>0,
∴f(x1-x2)<0,即f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x)在R上為單調(diào)遞減函數(shù);
(2)由(1)可知,f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù),
∴f(x)在[-3,3]上的最大值為f(-3),
要使f(x)≤6恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)f(-3)≤6,
又∵f(-3)=-f(3)=-f(2+1)=-[f(2)+f(1)]=-[f(1)+f(1)+f(1)]=-3f(1),
∴f(1)≥-2,
又x>1時(shí),f(x)<0,
∴f(1)∈[-2,0);
(3)不等式
1
n
f(x2)-f(x)>
1
n
f(ax)-f(a)

∴f(x2)-f(ax)>n[f(x)-f(a)],
∵f(x+y)=f(x)+f(y),
∴f(x2-ax)>nf(x-a),
由已知可得,f[n(x-a)]=nf(x-a),
∴f(x2-ax)>f[n(x-a)],
∵f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù),
∴x2-ax<n(x-a),即(x-a)(x-n)<0,
①當(dāng)a<n時(shí),不等式的解集為{x|a<x<n};
②當(dāng)a=n時(shí),不等式的解集∅;
③當(dāng)a>n時(shí),不等式的解集為{x|n<x<a}.
點(diǎn)評(píng):本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì),抽象函數(shù)求解不等式等.奇偶性的判斷一般應(yīng)用奇偶性的定義和圖象,要注意先考慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱然后判斷f(-x)與f(x)之間的關(guān)系.函數(shù)單調(diào)性的證明一般選用定義法證明,證明的步驟是:設(shè)值,作差,化簡,定號(hào),下結(jié)論.求解第(3)題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”,把抽象不等式化為具體不等式求解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
5|x-1|-1,x≥0
x2+4x+4,x<0
若關(guān)于x的方程f2(x)-(2m+1)f(x)+m2=0有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m=
 

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5|x-1|-1,x≥0
x2+4x+4,x<0
若關(guān)于x的方程f2(x)-(2m+1)f(x)+m2=0有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則m=( 。

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設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
-2x+a2x+1+b
(a,b為實(shí)數(shù))若f(x)是奇函數(shù).
(1)求a與b的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并證明;
(3)證明對(duì)任何實(shí)數(shù)x、c都有f(x)<c2-3c+3成立.

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設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
|lg|x-1||,x≠1
0,          x=1
,則關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是 (  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
4
|x-1
(x≠1)
2
 (x=1)
,若關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1、x2、x3,則x12+x22|x32等于( 。

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