Question

已知命題p：“函數(shù)f（x）=ax²-4x（a∈R）在（-∞，2]上單調(diào)遞減”，命題q：“?x∈R，16x²-16（a-1）x+1≠0”，若命題“p且q”為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：若命題“p且q”為真命題，則命題“p”和“q”均為真命題．命題p為二次型函數(shù)的單調(diào)性，分a=0，a＞0，a＜0三類結(jié)合二次函數(shù)的圖象求出a的范圍；命題q：“?x∈R，16x²-16（a-1）x+1≠0”，即方程16x²-16（a-1）x+1=0無解，故△＜0，解出A的范圍，求交集即可．

解答：解：P為真：①當a＜0不符合題意；
②當a=0時，f（x）=-4x在（-∞，2]上單調(diào)遞減，故a=0成立；
③當a＞0時，只需對稱軸x=-

-4

2a

=

2

a

5在區(qū)間（-∞，2]6的右側(cè)，即

2

a

≥2
∴0＜a≤1
綜合①②③：a∈[0，1]
q為真：命題等價于：方程16x²-16（a-1）x+1=0無實根．
△=[16（a-1）]²-4×16＜0
∴

1

2

＜a＜

3

2

∵命題“p且q”為真命題
∴

0≤a≤1 1 2 ＜a＜ 3 2

∴

1

2

＜a≤1．

點評：本題考查復(fù)合命題真假判斷、二次函數(shù)的單調(diào)性、二次方程的解得問題，同時考查分類討論思想．