Question

過點(diǎn)Q (-2，

21

)作圓O：x²+y²=r²（r＞0）的切線，切點(diǎn)為D，且QD=4．
（1）求r的值；
（2）設(shè)P是圓O上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的切線l，且l交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，設(shè)

OK

=

OA

+

OB

，求|

OK

|的最小值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（3）從圓O外一點(diǎn)M（x₁，y₁）向該圓引一條切線，切點(diǎn)為T，N（2，3），且有|MT|=|MN|，求|MT|的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用圓的切線的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理，可求r的值；
（2）設(shè)出直線方程，利用

OK

=

OA

+

OB

，表示出

OK

，求出模長，利用基本不等式即可求得結(jié)論．
（3）由題意畫出過N作圓的切線，NT的中點(diǎn)就是所求M，求出切點(diǎn)坐標(biāo)即可取得M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）圓C：x²+y²=r²（r＞0）的圓心為O（0，0），則
∵過點(diǎn)Q（-2，

21

） 作圓C：x²+y²=r²（r＞0）的切線，切點(diǎn)為D，且QD=4
∴r=OD=

QO2-QD2

=

4+21-16

=3；
（2）設(shè)直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），即bx+ay-ab=0，則A（a，0），B（0，b），
∵

OK

=

OA

+

OB

，∴

OK

=（a，b），∴|

OK

|=

a2+b2

∵直線l與圓C相切，∴

|-ab|

a2+b2

=3
∴3

a2+b2

=ab≤

a2+b2

2

∴a²+b²≥36
∴|

OK

|≥6
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3

2

時(shí)，|

OK

|的最小值為6．
（3）∵切線MN⊥OT，∴|MT|²=|MO|²-9，又|MN|=|MT|，∴|MN|²=|MO|²-9，
M（x₁，y₁），過N（2，3）的直線的斜率為k，所以NT的方程為：y-3=k（x-2），
與圓的方程x²+y²=9聯(lián)立，

y-3=k(x-2) x2+y2=9

，消去y可得：（k²+1）x²+2（3-2k）kx+4k²-12k=0，
因?yàn)橹本�與圓相切，所以△=0，即[2（3-2k）k]²-4（k²+1）（4k²-12k）=0，
化簡得：5k²+12k=0，解得k=0或k=-

12

5

，
當(dāng)k=0時(shí)，x=0，此時(shí)T（0，3），當(dāng)k=

12

5

時(shí)，x=

36

13

，此時(shí)T（

31

13

，

27

13

）
∴滿足條件的M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）或（

31

13

，

27

13

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，兩直線垂直的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)用，以及求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法．