Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為

π

2

，函數(shù)y=f（x+

π

2

）為偶函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若α為銳角，f（

α

2

+

π

12

）=

3

5

，求sin2α的值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,二倍角的正弦

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意可得，函數(shù)的周期為

2π

ω

=π，求得ω=2．再根據(jù)函數(shù)y=f（x+

π

2

）=sin（2x+π+φ）為偶函數(shù)，求得φ=

π

2

，可得f（x）的解析式．
（2）由條件求得cos（α+

π

6

）和sin（α+

π

6

）的值，利用二倍角公式求得sin（2α+

π

3

）和cos（2α+

π

3

）的值，再根據(jù)sin2α=sin[（2α+

π

3

）-

π

3

]，利用兩角差的正弦公式計算求得結(jié)果．

解答： 解：（1）由題意可得，函數(shù)的周期為

2π

ω

=π，求得ω=2．
再根據(jù)函數(shù)y=f（x+

π

2

）=sin（2x+π+φ）為偶函數(shù)，可得π+φ=kπ+

π

2

，k∈z，
即 φ=kπ-

π

2

，k∈z，結(jié)合0＜φ＜π，可得φ=

π

2

，∴f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x．
（2）∵α為銳角，f（

α

2

+

π

12

）=cos（α+

π

6

）=

3

5

，∴sin（α+

π

6

）=

4

5

．
∴sin（2α+

π

3

）=2sin（α+

π

6

）cos（α+

π

6

）=

24

25

，cos（2α+

π

3

）=2cos2(α+

π

6

)-1=-

7

25

，
∴sin2α=sin[（2α+

π

3

）-

π

3

]=sin（2α+

π

3

）cos

π

3

-cos（2α+

π

3

）sin

π

3

=

24

25

×

1

2

-（-

7

25

）×

3

2

=

24+7 3

50

．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，兩角和差的正弦公式，二倍角公式，正弦函數(shù)的周期性，屬于中檔題