Question

已知直線l：y=x+m，m∈R，若以點(diǎn)M（2，0）為圓心的與直線l相切于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在y軸上．
（Ⅰ）求該圓的方程；
（Ⅱ）是否存在平行于l的直線l′，與圓M相交于AB兩點(diǎn)，使得以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O？若存在，求出直線l′的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（I）利用待定系數(shù)法求本題中圓的方程是解決本題的關(guān)鍵，利用直線與圓相切的數(shù)學(xué)關(guān)系列出關(guān)于圓的半徑的方程，通過求解方程確定出所求圓的半徑，進(jìn)而寫出所求圓的方程；
（II）假設(shè)直線l′存在，設(shè)方程為：y=x+n，代入圓方程，利用以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，可得AO⊥BO，即x₁x₂+y₁y₂=0，從而可得直線l′的方程

解答： 解：（I）設(shè)所求圓的半徑為r，則圓的方程可設(shè)為（x-2）²+y²=r²．由題意，所求圓與直線l：y=x+m相切于點(diǎn)P（0，m），則有

4+m2=r2 |2-0+m| 2 =r

，解得

m=2 r=2 2

，所以圓的方程為（x-2）²+y²=8．
（II）假設(shè)直線l′存在，設(shè)方程為：y=x+n，代入圓方程，得：（x-2）²+（x+n）²-8=0，
即2x²+（2n-4）x+n²-4=0，
設(shè)兩交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁+x₂=-

2n-4

2

=2-n，x1•x2=

n2-4

2

，
滿足圓心M到直線l′距離d=

|2+n|

2

＜2

2

，
∴-6＜n＜2，
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，
∴AO⊥BO，
∴x₁x₂+y₁y₂=0（其中，x₁x₂≠0，若x=0，由（*）得，n²-4=0，n=±2∉（-6，2））
則x1x2+(x1+n)(x2+n)=2x1x2+n(x1+x2)+n2
即2•

n2-4

2

+n•(2-n)+n2=n2+2n-4=0
解得n=-1±

5

∈(-6，2)…（11分）
故直線l'存在，方程為y=x-1+

5

或y=x-1-

5

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生對直線與圓相切，直線與圓相交的問題的轉(zhuǎn)化方法，考查學(xué)生的方程思想和運(yùn)算化簡能力，屬于中檔題．