Question

已知平面上的線(xiàn)段l及點(diǎn)P，任取l上一點(diǎn)Q，線(xiàn)段PQ長(zhǎng)度的最小值稱(chēng)為點(diǎn)P到線(xiàn)段l的距離，記作d（P，l）．
（Ⅰ）求點(diǎn)P（1，1）到線(xiàn)段l：x-y-3=0，（3≤x≤5）的距離d（P，l）；
（Ⅱ）設(shè)l是長(zhǎng)為2的線(xiàn)段，求點(diǎn)的集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的圖形面積；
（Ⅲ）寫(xiě)出到兩條線(xiàn)段l₁，l₂距離相等的點(diǎn)的集合Ω={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}，并在直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)的軌跡．其中l(wèi)₁=AB，l₂=CD，A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，-2）．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專(zhuān)題：綜合題,直線(xiàn)與圓

分析：（Ⅰ）根據(jù)d（P，l）的定義，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可算出的值d（P，l）．
（Ⅱ）d（P，AB）≤1，即Q在線(xiàn)段AB上時(shí)線(xiàn)段PQ長(zhǎng)度的最小值不超過(guò)1，由此結(jié)合點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用距離公式即可化簡(jiǎn)出所求圖形的邊界曲線(xiàn)方程，結(jié)合矩形面積與圓面積公式可得該圖形的面積；
（Ⅲ）根據(jù)所給的四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出兩條直線(xiàn)的方程，從直線(xiàn)方程中看出這兩條直線(xiàn)之間的平行關(guān)系，得到要求的結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)Q（x，x-3）是線(xiàn)段l：x-y-3=0（3≤x≤5）上一點(diǎn)，則
|PQ|=

(x-1)2+(x-4)2

=

2(x- 5 2 )2+ 9 2

，（3≤x≤5）
當(dāng)x=3時(shí)，d（P，l）=|PQ|_最小值=

5

． 
（Ⅲ）點(diǎn)集D由如下曲線(xiàn)圍成

l₁：y=1（|x|≤1），l₂：y=-1（|x|≤1），
C₁：（x+1）²+y²=1（x≤-1），C₂：（x-1）²+y²=1（x≥1），
其面積為S=4+π． 
（Ⅲ）利用兩點(diǎn)式寫(xiě)出兩條直線(xiàn)的方程，AB：x=1，CD：x=-1，
到兩條線(xiàn)段l₁，l₂距離相等的點(diǎn)的集合Ω={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}，
根據(jù)兩條直線(xiàn)的方程可知兩條直線(xiàn)之間的關(guān)系是平行，
∴得到到兩條線(xiàn)段距離相等的點(diǎn)是y軸非負(fù)半軸，拋物線(xiàn)x=

1

4

y2（y≤0，0≤x≤1），直線(xiàn)y=-x-1（x＞1）．
如圖所示

點(diǎn)評(píng)：本題給出點(diǎn)P到線(xiàn)段l的距離的定義，求實(shí)際問(wèn)題中的距離并討論相應(yīng)的曲線(xiàn)方程．著重考查了點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)和曲線(xiàn)與方程的化簡(jiǎn)等知識(shí)，屬于中檔題．