Question

【題目】已知，命題對，不等式恒成立；命題對，不等式恒成立.

（1）若命題為真命題，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若為假，為真，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用單調(diào)性求得的最小值，利用小于或等于這個最小值求得的取值范圍.（2）利用分離常數(shù)法，將命題所給不等式分離常數(shù)后，求得的取值范圍.根據(jù)題目所給已知條件“為假，為真，”可知一真一假，分成真假，和假真兩類，列不等式組求得的取值范圍.

（1）令，則在上為減函數(shù)，

因為，所以當時，，

不等式恒成立，等價于，解得，

故命題為真，實數(shù)的取值范圍為.

（2）若命題為真，則，對上恒成立，

令，因為在上為單調(diào)增函數(shù)，

則，故，即命題為真，

若為假，為真，則命題，中一真一假；

①若為真，為假，那么，則無解；

②若為假，為真，那么，則.

綜上的取值范圍為.