【題目】拋物線C的方程為y=ax2(a<0),過(guò)拋物線C上一點(diǎn)P(x0 , y0)(x0≠0)作斜率為k1 , k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1 , y1)B(x2 , y2)兩點(diǎn)(P,A,B三點(diǎn)互不相同),且滿足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠﹣1).
(Ⅰ)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;
(Ⅱ)設(shè)直線AB上一點(diǎn)M,滿足 ,證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上;
(Ⅲ)當(dāng)λ=1時(shí),若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,﹣1),求∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y1的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)由拋物線C的方程y=ax2(a<0)得,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0, ),準(zhǔn)線方程為y=﹣
(Ⅱ)證明:設(shè)直線PA的方程為y﹣y0=k1(x﹣x0),直線PB的方程為y﹣y0=k2(x﹣x0).
點(diǎn)P(x0 , y0)和點(diǎn)A(x1 , y1)的坐標(biāo)是方程組 的解.
將②式代入①式得ax2﹣k1x+k1x0﹣y0=0,于是x1+x0= ,故x1= ﹣x0 ③.
又點(diǎn)P(x0 , y0)和點(diǎn)B(x2 , y2)的坐標(biāo)是方程組 的解.
將⑤式代入④式得ax2﹣k2x+k2x0﹣y0=0.于是x2+x0= ,故x2= ﹣x0
由已知得,k2=﹣λk1 , 則x2=﹣ ﹣x0 . ⑥
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xM , yM),由 ,可得 xM=
將③式和⑥式代入上式得xM= =﹣x0 ,
即xM+x0=0.所以線段PM的中點(diǎn)在y軸上.
(Ⅲ)因?yàn)辄c(diǎn)P(1,﹣1)在拋物線y=ax2上,所以a=﹣1,拋物線方程為y=﹣x2
由③式知x1=﹣k1﹣1,代入y=﹣x2 得 y1=﹣(k1+1)2
將λ=1代入⑥式得 x2=k1﹣1,代入y=﹣x2 y2=﹣(k2+1)2
因此,直線PA、PB分別與拋物線C的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A(﹣k1﹣1,﹣k12﹣2k1﹣1),B(k1﹣1,﹣k12+2k1﹣1).
于是 =(k1+2,k12+2k1), =(2k1 , 4k1),
=2k1(k1+2)+4k1(k12+2k1)=2(k1+2)(2+k11).
因∠PAB為鈍角且P、A、B三點(diǎn)互不相同,故必有 <0./span>
求得k1的取值范圍是k1<﹣2,或﹣ <k1<0.
又點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y1滿足y1=﹣(k1+1)2 , 故當(dāng)k1<﹣2時(shí),y1<﹣1;當(dāng)﹣ <k1<0時(shí),﹣1<y<﹣
即y1∈(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,﹣ ).
【解析】(Ⅰ)數(shù)形結(jié)合,依據(jù)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程寫焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.(Ⅱ)先依據(jù)條件求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo),利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,證明xM+x0=0.(Ⅲ)∠PAB為鈍角時(shí),必有 <0.用k1表示y1 , 通過(guò)k1的范圍來(lái)求y1的范圍.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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低于

60分

60分

到79分

80分

到89分

不低

于90分

滿意度等級(jí)

不滿意

基本滿意

滿意

非常滿意

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