Question

已知函數(shù)

（1）若直線是曲線的切線，求的值；

（2）若直線是曲線的切線，求的最大值；

（3）設(shè)是曲線上相異三點，其中

求證：

Answer 1

解：(1)設(shè)切點為(x₀,lnx₀), k=f¢(x)= = ,x₀ = 2 ,\切點為(2,ln2),

代入y= x + m得：m = ln2-1.----------------4分

(2)設(shè)y = ax+b切f(x)于(t,lnt)(t>0), f¢(x)= , \ f¢(t)= ,

則切線方程為：y = (x-t)+lnt ,y = x+lnx-1 , a= ,b= lnt-1

\ab= (lnt-1), 令g(t)= (lnt-1), g¢(t)= - (lnt-1)+ =

若tÎ(0,e²)時，g¢(t)>0，\ g(t)在(0,e²)上單調(diào)增；tÎ(e²,+¥)時，g¢(t)<0, \ g(t)在(e²,+¥)上單調(diào)遞減；所以，當t= e²時，ab的最大值為：

g(e²)= (lne²-1)= ------------------------8分

(3)先證：<< ,即證：<< ,

只證：1- <ln< - 1 , 令= t >1, 設(shè)h(m) =lnt–t +1 ,

h¢(m)= - 1<0 , 所以：h(t)在(1,+ ¥)上單調(diào)遞減，則h(t)<h(1)=ln1-1+1=0,

即證：ln< – 1. 以下證明：1- <ln

令p(t)= lnt+-1 , p¢(t)= - >0 , 所以：p(t)= lnt+-1在(1,+ ¥)上單調(diào)遞增，即：p(t)>p(1)= 0 ,即有：lnt+-1>0, \1- <ln 獲證.

故<< 成立 ,同理可證：<< ，綜上可知：：> 成立------------12分