Question

【題目】如圖，在多面體中，四邊形為矩形，，均為等邊三角形，，．

（1）過(guò)作截面與線段交于點(diǎn)，使得平面，試確定點(diǎn)的位置，并予以證明；

（2）在（1）的條件下，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，使得平面．（2）

【解析】

試題分析：(1) 當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面．連結(jié)AC交BD于M,連結(jié)MN.利用中位線定理即可證明 ,于是平面．

(2)通過(guò)線面關(guān)系證得 ，．分別以，，的方向?yàn)?/span>，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可.

試題解析：（1）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，使得平面．

證法如下：

連接，，設(shè)，

∵四邊形為矩形，

∴為的中點(diǎn)，

又∵為的中點(diǎn)，

∴為的中位線，

∴，

∵平面，平面，

∴平面，故為的中點(diǎn)時(shí)，使得平面．

（2）過(guò)作分別與，交于，，

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，分別為，的中點(diǎn)，

∵與均為等邊三角形，且，

∴，連接，，則得，

∵， ，，

∴，，

∴四邊形為等腰梯形．

取的中點(diǎn)，連接，則，

又∵，，，

∴平面，

過(guò)點(diǎn)作于，則，

∴ ，．

分別以，，的方向?yàn)?/span>，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則由條件可得：，，，，，．

設(shè)是平面的法向量，

則即

所以可取，

由，可得，

∴直線與平面所成角的正弦值為．