Question

【題目】已知函數(shù) .

（Ⅰ）若在區(qū)間上有極值，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若有唯一的零點，試求的值.（注：為取整函數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，如；以下數(shù)據(jù)供參考：）

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).

【解析】

試題分析：（1）求出f（x）的導數(shù)，令h（x）=2x3﹣ax﹣2，x∈（0，+∞），求出導數(shù)，討論a的符號，判斷單調(diào)性，即可得到所求a的范圍；（2）由（1）可知：f（1）=3知x∈（0，1）時，f（x）＞0，則x0＞1，討論f（x）在x＞1的單調(diào)性，再由零點的定義和極值點的定義，可得x0的方程，構(gòu)造函數(shù)，判斷單調(diào)性，由零點存在性定理知 t（2）＜0，t（3）＞0，即可得到所求值．

試題解析：

（Ⅰ）函數(shù) 的定義域為，

令，則，

當時，恒成立，在上為增函數(shù)，

又函數(shù)在內(nèi)有一個零點，

且當時，時，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以在區(qū)間內(nèi)有極小值.

當時，，即時，恒成立，

函數(shù)在單調(diào)遞減，此時函數(shù)無極值，

綜上可得：在區(qū)間內(nèi)有極值時實數(shù)的取值范圍是，

（Ⅱ）①當時，得，不滿足定義域，不存在.

②當時，由（Ⅰ）知：若有唯一的零點為極小值點，

所以，

③當時，函數(shù)的定義域為，

由（Ⅰ）可知：知時，

又在區(qū)間上只有一個極小值點記為，

且時，函數(shù)單調(diào)遞減，

時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

由題意可知：即為，

消去可得：，

即，

令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，

又，

，

由零點存在性定理知

綜上可得：