Question

已知各項全不為零的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=a_na_n+1，a₁=1
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n+a_n+1}的前2n項和T_2n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求數(shù)列{a_n+a_n+1}的前2n項和T_2n．

解答： 解：（I）∵S_n=a_na_n+1，a₁=1，①，
∴當(dāng)n≥2，S_n-1=a_n-1a_n，②
①-②得a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=1，
即{a_2n-1}，{a_2n}都是公差為1的等差數(shù)列，
在①中，令n=1，得a₁=a₁a₂，
解得a₂=1，
∴a_n=

n+1 2 ， n是奇數(shù) n 2 ， n是偶數(shù)

．
（II）T_2n=（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+…+（a_2n+a_2n+1）=2（a₂+a₄+a₆+…+a_2n）+2（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）-a₁
=2×

n(n+1)

2

+2×

n(n+1)

2

+(n+1)-1=2n²+3n．

點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列求和，根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的通項公式以及利用分組求和法是解決本題的關(guān)鍵．