Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，BC⊥PC，PO⊥DC于O，PC=2，AD=

2

，∠PCO=

π

8

．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求三棱錐P-AOC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）運用線面垂直的判定定理，證得BC⊥平面PCD，再由線面垂直的判定證得PO⊥平面ABCD；
（2）由PO⊥平面ABCD，得到PO⊥CD，通過解直角三角形，求出PO，OC，再由棱錐的體積公式，運用二倍角的正弦公式化簡，求出體積．

解答： （1）證明：∵底面ABCD為矩形，
∴BC⊥CD，
又BC⊥PC，PC∩CD=C，
∴BC⊥平面PCD，
PO?平面PCD，
∴BC⊥PO，又PO⊥CD，BC∩CD=C，
∴PO⊥平面ABCD；
（2）∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥CD，
PC=2，AD=

2

，∠PCO=

π

8

，
∴PO=2sin

π

8

，OC=2cos

π

8

，
∴三棱錐P-AOC的體積V=

1

3

PO•S_△AOC=

1

3

×2sin

π

8

×

1

2

×2cos

π

8

×

2

=

1

3

×

2

×sin

π

4

=

1

3

．

點評：本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)，同時考查三棱錐的體積，考查簡單的運算能力，屬于中檔題．