Question

（2013•東城區(qū)二模）已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_2n=a_n，a_4n-1=0，a_4n+1=1（n∈N^*）．
（1）求a₄，a₇；
（2）是否存在正整數(shù)T，使得對(duì)任意的N∈N^*，有a_n+T=a_n；
（3）設(shè)S=

a1

10

+

a2

10

+

a3

10

+…+

an

10

+…，問(wèn)S是否為有理數(shù)，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，a₄=a₂=a₁，a₇=a_4×2-1，結(jié)合已知可求
（2）假設(shè)存在正整數(shù)T使得對(duì)任意的n∈N^*滿足條件，然后分類(lèi)討論：分T為奇數(shù)，設(shè)T=2t-1（t∈N^*），及T為偶數(shù)，設(shè)T=2t（t∈N^*），兩種情況進(jìn)行推理，推到出矛盾即可證明
（3）若S為有理數(shù)，即S為無(wú)限循環(huán)小數(shù)，則存在正整數(shù)N₀，T，對(duì)任意的n∈N^*，且n≥N₀，有a_n+T=a_n，結(jié)合（2）的討論分T為奇數(shù)，T為偶數(shù)，兩種情況進(jìn)行討論即可求解

解答：解：（1）由題意可得，a₄=a₂=a₁=1，a₇=a_4×2-1=0
（2）假設(shè)存在正整數(shù)T使得對(duì)任意的n∈N^*，有a_n+T=a_n；
則存在無(wú)數(shù)個(gè)正整數(shù)T使得對(duì)任意的n∈N^*，有a_n+T=a_n；．
設(shè)T為其中最小的正整數(shù)．
若T為奇數(shù)，設(shè)T=2t-1（t∈N^*），
則a_4n+1=a_4n+1+T=a_4n+1+2t-1=a_4（n+t）=0
與已知a_4n+1=1矛盾．
若T為偶數(shù)，設(shè)T=2t（t∈N^*），
則a_2n+T=a_2n=a_n，
而a_2n+T=a_2n+2t=a_n+t
從而a_n+T=a_n．
而t＜T與T為其中最小的正整數(shù)矛盾．
綜上，不存在正整數(shù)T，使得對(duì)任意的n∈N^*，有a_n+T=a_n．
（3）若S為有理數(shù)，即S為無(wú)限循環(huán)小數(shù)，
則存在正整數(shù)N₀，T，對(duì)任意的n∈N^*，且n≥N₀，有a_n+T=a_n．
與（Ⅱ）同理，設(shè)T為其中最小的正整數(shù)．
若T為奇數(shù)，設(shè)T=2t-1（t∈N^*），
當(dāng)4n+1≥N₀時(shí)，有a_4n+1=a_4n+1+T=a_4n+1+2T=a_4（n+t）-1=0．
與已知a_4n+1=1矛盾．
若T為偶數(shù)，設(shè)T=2t（t∈N^*），
當(dāng)n≥N₀時(shí)，有a_2n+T=a_2n=a_n，
而a_2n+T=a_2n+2t=a_n+t
從而a_n+t=a_n
而t＜T，與T為其中最小的正整數(shù)矛盾．
故S不是有理數(shù)．            …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推關(guān)系求解數(shù)列的項(xiàng)，解答本題要求考生具有一定的邏輯推理與運(yùn)算的能力