Question

7．已知函數(shù)f（x）=cosωx（$\sqrt{3}$sinωx-cosωx）+m（ω＞0）的兩條對稱軸之間的最小距離為$\frac{π}{2}$
（I）求ω的值及y=f（x）的單調遞增區(qū)間；
（II）若y=f（x）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}}$]上的最大值與最小值之和為$\frac{5}{2}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式與和角公式將f（x）進行化簡，由兩條對稱軸之間的最小距離為$\frac{π}{2}$可知f（x）周期為π，從而求出ω；
（2）根據(jù)x的范圍求出相位的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調性求出f（x）的最值，列出方程解出m．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx+m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx+m-$\frac{1}{2}$
=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+m-$\frac{1}{2}$．
∵f（x）的兩條對稱軸之間的最小距離為$\frac{π}{2}$，
∴T=2×$\frac{π}{2}$=π，∴$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1．
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+m-$\frac{1}{2}$．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間是[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z．
（2）∵x∈在$[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}]$，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
∴當2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$時，f（x）取得最大值m，
當2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最小值m-$\frac{3}{2}$．
∴m+m-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，解得m=2．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換及性質，由對稱軸的最短距離得出周期是關鍵．