Question

12．已知函數f（x）=4^x-2^x+1-b（b∈R）．
（1）若f（x）有零點，求實數b的取值范圍；
（2）當f（x）有零點時，討論f（x）有零點的個數，并求出f（x）的零點．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=0，可得-b=2^x（2^x-2），運用配方和指數函數的性質，可得右邊函數的范圍，即可得到b的范圍；
（2）分①當b=-1 時，②當 0＞b＞-1 時，③當b≥0時，④當b＜-1時四種情況，分別由條件求得2^x 的值，求得x的值，從而得出結論．

解答 解：（1）原函數有零點即方程4^x-2^x+1-b=0 有根．
化簡方程為b=4^x-2^x+1=2^2x-2•2^x=（2^x-1）²-1≥-1，
故當b的范圍為[-1，+∞）時函數存在零點．
（2）①當b=-1 時，2^x=1，∴方程有唯一解x=0．
②當 0＞b＞-1 時，∵（2^x-1）²=1+b＞0，可得 2^x=1+$\sqrt{1+b}$，或2^x=1-$\sqrt{1+b}$，
解得 x=log₂（1+$\sqrt{1+b}$），或x=log₂（1-$\sqrt{1+b}$），故此時方程有2個解．
③當b≥0時，∵（2^x-1）²=1+b＞1，可得 2^x=1+1+$\sqrt{1+b}$，或2^x═1-$\sqrt{1+b}$，（舍去），
解得 x=log₂（1+$\sqrt{1+b}$），故此時方程有唯一解．
④當b＜-1時，∵（2^x-1）²=1+b＜0，2^x 無解，原方程無解．
綜上可得，當-1＜b＜0時原方程有兩解：x=log₂（1+$\sqrt{1+b}$），或x=log₂（1-$\sqrt{1+b}$）；
當b≥0 時，方程有唯一解x=log₂（1+$\sqrt{1+b}$），
當b=-1 時，原方程有唯一解x=0；
當b＜-1 時，原方程無解．

點評 本題主要考查函數的零點與方程的根的關系，體現了等價轉化和數形結合的數學思想，屬于中檔題．