【題目】已知橢圓:()的離心率為，設(shè)直線過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程.

（2）過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，在軸的正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線，的斜率之積為非零的常數(shù)?若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）設(shè)直線的方程為，由離心率和原點(diǎn)到直線的距離為，可得關(guān)于的方程組，解方程組得即可得答案；

（2）依題意可設(shè)直線的方程為，，，直線方程代入曲線方程，利用判別式大于0得的范圍，利用韋達(dá)定理可得與的關(guān)系，并假設(shè)存在點(diǎn)

使命題成立，利用斜率公式代入坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，即可得答案.

（1）設(shè)橢圓半焦距為.根據(jù)題意得，橢圓離心率，即，

所以.①

因?yàn)橹本�過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，

所以設(shè)直線的方程為，即.

又由點(diǎn)到直線的距離為，得.②

聯(lián)立①②解得，.所以橢圓的方程為.

（2）依題意可設(shè)直線的方程為，，.聯(lián)立得.所以，所以.

所以，，

則，.

假設(shè)存在定點(diǎn)()，使得直線，的斜率之積為非零常數(shù)，

所以.

要使為非零常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)解得(負(fù)值舍去).

當(dāng)時(shí)，常數(shù)為.

所以軸的正半軸上存在定點(diǎn)，使得直線，的斜率之積為常數(shù).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)在雙曲線（，）上，且雙曲線的一條漸近線的方程是．

（1）求雙曲線的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)（2）中直線與雙曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，若以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，為軸上的點(diǎn).

（1）過(guò)點(diǎn)作直線與相切，求切線的方程；

（2）如果存在過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且直線與的傾斜角互補(bǔ)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，底面，四棱錐的體積，M是的中點(diǎn).

（1）求異面直線與所成角的余弦值；

（2）求點(diǎn)B到平面的距離.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過(guò)三個(gè)象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)定義在上的函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）定義:如果實(shí)數(shù)滿足， 那么稱(chēng)比更接近.對(duì)于（2）中的及，問(wèn):和哪個(gè)更接近？并說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（1）求證：，其中；

（2）求證：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，求證：由點(diǎn) 構(gòu)成的曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】定義變換將平面內(nèi)的點(diǎn)變換到平面內(nèi)的點(diǎn)；若曲線經(jīng)變換后得到曲線，曲線經(jīng)變換后得到曲線，…，依次類(lèi)推，曲線經(jīng)變換后得到曲線，當(dāng)時(shí)，記曲線與、軸正半軸的交點(diǎn)為和，某同學(xué)研究后認(rèn)為曲線具有如下性質(zhì)：①對(duì)任意的，曲線都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；②對(duì)任意的，曲線恒過(guò)點(diǎn)；③對(duì)任意的，曲線均在矩形（含邊界）的內(nèi)部，其中的坐標(biāo)為；④記矩形的面積為，則；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案