Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c．
（1）若（2a+c）cosB+bcosC=0，求角B的值；
（2）若b為a，c的等比中項(xiàng)，求cosB的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理后根據(jù)sinA不為0求出cosB的值，即可確定出B的度數(shù)；
（2）根據(jù)b為a，c的等比中項(xiàng)，得到b²=ac，利用余弦定理表示出cosB，將b²=ac代入并利用基本不等式即可求出cosB的最小值．

解答： 解：（1）已知等式（2a+c）cosB+bcosC=0，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，
整理得：2sinAcosB+cosBsinC+sinBcosC=0，即2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∴2sinAcosB+sinA=0，
∵sinA≠0，
∴cosB=-

1

2

，
則B=

2π

3

；
（2）∵b為a，c的等比中項(xiàng)，∴b²=ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取到等號(hào)．
則cosB的最小值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．