Question

已知如圖，函數(shù)y=2sin（

π

2

x+φ）（0≤φ≤

π

2

，x∈R）的圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，1）．
（1）求φ的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P是圖象上的最高點(diǎn)，M，N是圖象與x軸的交點(diǎn)，求向量

PM

與向量

PN

夾角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由y=2sin（

π

2

x+φ）的圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，1），可得sinφ=

1

2

，0≤φ≤

π

2

，從而可得φ的值；
（2）依題意，可求得M，N，P的坐標(biāo)，于是可得向量

PM

與

PN

的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得向量

PM

與向量

PN

夾角的余弦值

解答： 解：（1）由題意得2sinφ=1，sinφ=

1

2

，0≤φ≤

π

2

，
∴φ=

π

6

．…..…（6分）
（2）由

π

2

x+

π

6

=0得：x=-

1

3

，
∴M（-

1

3

，0），又T=

2π

π 2

=4，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x_p=（-

1

3

）+

1

4

T=

2

3

，
∴P（

2

3

，2），同理可得N（

5

3

，0），…（9分）
∴

PM

=(-1，-2)，

PN

=(1，-2)，…（12分）
設(shè)向量

PM

與的

PN

夾角為θ，則cosθ=

PM • PN

| PM || PN |

=

3

5

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，著重考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得M，N，P的坐標(biāo)是關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．