Question

如圖，在三棱錐A-BOC中，∠OAB=30°，AO⊥平面BOC，AB=4，∠BOC=90°，BO=CO，D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：CO⊥平面AOB；
（2）求異面直線AO與CD所成角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出CO⊥AO，CO⊥BO，由此能證明CO⊥平面AOB．
（2）作DE⊥OB，垂足為E，連結(jié)CE，則DE∥AO，所以∠CDE是異面直線AO與CD所成的角，由此能求出異面直線AO與CD所成角的正切值．

解答： 解：（1）∵AO⊥平面BOC，
又CO?平面COB，∴CO⊥AO，…（3分）
∵∠BOC=90°，∴CO⊥BO，…（4分）
又∵AO∩B0=O，∴CO⊥平面AOB．…（6分）
（2）作DE⊥OB，垂足為E，連結(jié)CE（如圖），
則DE∥AO，
∴∠CDE是異面直線AO與CD所成的角．…（8分）
在Rt△COE中，CO=BO=2，OE=

1

2

BO=1，
∴CE=

CO2+OE2

=

5

．…（10分）
又DE=

1

2

AO=

3

．
∴在Rt△CDE中，tan∠CDE=

CE

DE

=

5

3

=

15

3

．…（13分）
∴異面直線AO與CD所成角的正切值為

15

3

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查異面直線所成角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．