Question

設(shè)a₁，a₂，a₃均為正數(shù)，λ₁＜λ₂＜λ₃，則函數(shù)f（x）=

a1

x-λ1

+

a2

x-λ2

+

a3

x-λ3

的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間（　�。�

• A、（-∞，λ₁）∪（λ₁，λ₂）內(nèi)
• B、（λ₁，λ₂）∪（λ₂，λ₃）內(nèi)
• C、（λ₂，λ₃）∪（λ₃，+∞）內(nèi)
• D、（-∞，λ₁）∪（λ₃，+∞）內(nèi)

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：整理函數(shù)f（x），令g（x）=a₁（x-λ₂）（x-λ₃）+a₂（x-λ₁）（x-λ₃）+a₃（x-λ₁）（x-λ₂），由函數(shù)零點(diǎn)存在判定定理可知：在區(qū)間（λ₁，λ₂），（λ₂，λ₃）內(nèi)分別存在一個(gè)零點(diǎn)；又函數(shù)g（x）是二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)，即可判斷出．

解答： 解：f（x）=

a1

x-λ1

+

a2

x-λ2

+

a3

x-λ3

=

a1(x-λ2)(x-λ3)+a2(x-λ1)(x-λ3)+a3(x-λ1)(x-λ2)

(x-λ1)(x-λ2)(x-λ3)

令g（x）=a₁（x-λ₂）（x-λ₃）+a₂（x-λ₁）（x-λ₃）+a₃（x-λ₁）（x-λ₂），
∵λ₁＜λ₂＜λ₃，
∴g（λ₁）=a₁（λ₁-λ₂）（λ₁-λ₃）＞0，
g（λ₂）=a₂（λ₂-λ₁）（λ₂-λ₃）＜0，
g（λ₃）=a₃（λ₃-λ₁）（λ₃-λ₂）＞0，
由函數(shù)零點(diǎn)存在判定定理可知：在區(qū)間（λ₁，λ₂），（λ₂，λ₃）內(nèi)分別存在一個(gè)零點(diǎn)；
又函數(shù)g（x）是二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)，
因此函數(shù)g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間（λ₁，λ₂），（λ₂，λ₃）內(nèi)．
故函數(shù)f（x）=

a1

x-λ1

+

a2

x-λ2

+

a3

x-λ3

的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間（λ₁，λ₂），（λ₂，λ₃）內(nèi)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的解析式求函數(shù)的值，判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間的方法，屬于基礎(chǔ)題．