Question

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，已知底面ABCD是邊長為1的正方形，側面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，PA與平面PBC所成角的正弦值為。

（1）求側棱PA的長；

（2）設E為AB中點，若PA≥AB，求二面角B－PC－E的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）或.（2）

【解析】

（1）取AD中點O．BC中點M，連結OP，OM，證得以O為原點OA，OM，OP為x，y，Z軸建立空間直角坐標系，求得平面PBC的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求解。

（2）由（1）知，得平面PBC的一個法向量為，再求得平面PCE的一個法向量為，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值。

解：（1）取AD中點O．BC中點M，連結OP，OM，

因為PA＝PD，所以

又因為平面PAD⊥平面ABCD，OP平面PAD．平

面平面ABCD＝AD，所以OP⊥平面ABCD

所以

又因為ABCD是正方形，所以,

以O為原點OA，OM，OP為x，y，Z軸建立空間直角

坐標系O－xyz（如圖），

則,

設，則,

設平面PBC的一個法向量為,

則有取，則，從而

設PA與平面PBC所成角為，因為

所以

解得或．所以或.

（2）由（1）知，，所以，

由（1）知，平面PBC的一個法向量為，

設平面PCE的一個法向量為,而,

所以取，則，即

設二面角B－PC－E的平面角為，

所以，

根據圖形得為銳角，所以二面角B－PC－E的余弦值為