Question

已知拋物線C：y=（t²+t-1）x²-2（a+t）²x+（t²+3at+b）對(duì)任何實(shí)數(shù)t都與x軸交于P（1，0）點(diǎn)，又設(shè)拋物線C與x軸的另一交點(diǎn)為Q（m，0），求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)t，拋物線C都與x軸交于P（1，0）容易求得a=1，b=3，從而求出拋物線C的方程為y=（t²+t-1）x²-2（t+1）²x+t²+3t+3．而根據(jù)韋達(dá)定理即可得到m=

t2+3t+3

t2+t-1

，把該式整理成關(guān)于t的方程，根據(jù)方程有解即可求得m的取值范圍．

解答： 解：根據(jù)已知條件：t²+t-1-2（a+t）²+t²+3at+b=0；
整理得，（1-a）t+b-2a²-1=0，該式對(duì)任意的t都成立；
∴

1-a=0 b-2a2-1=0

；
∴a=1，b=3；
∴y=（t²+t-1）x²-2（t+1）²x+t²+3t+3；
根據(jù)題意及韋達(dá)定理：m=

t2+3t+3

t2+t-1

；
整理成：（m-1）t²+（m-3）t-m-3=0，該關(guān)于t的方程有解；
①m=1時(shí)，該方程顯然有解；
②m≠1時(shí)，要使得方程有解，則：
△=（m-3）²+4（m-1）（m+3）≥0；
解得，m≥

3

5

，或m≤-1；
∴綜上得m的取值范圍為[

3

5

，+∞)∪(-∞，-1]．

點(diǎn)評(píng)：考查圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系，對(duì)于任意的t，at+b=0成立的充要條件是

a=0 b=0

，以及韋達(dá)定理，并且不要忘了m=1的情況．