Question

已知數(shù)列{a_n}（n∈N^*）的前n項和為S_n，數(shù)列{

Sn

n

}是首項為0，公差為

1

2

的等差數(shù)列．
（1）設b_n=

4

15

•（-2）ⁿ（n∈N^*），對任意的正整數(shù)k，將集合{b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三個元素排成一個遞增的等差數(shù)列，其公差為d_k，求證：數(shù)列{d_k}為等比數(shù)列；
（2）對（1）題中的d_k，求集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素個數(shù)．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列{

Sn

n

}是首項為0，公差為

1

2

的等差數(shù)列求出其通項公式，進一步得到數(shù)列{a_n}的通項公式，代入b_n=

4

15

•(-2)an，得到b_n，求出b_2k-1，b_2k，b_2k+1，
由2b_2k-1=b_2k+b_2k+1 及b_2k＜b_2k-1＜b_2k+1，得b_2k，b_2k-1，b_2k+1依次成遞增的等差數(shù)列，再求出公差d_k，由等比數(shù)列的定義可得數(shù)列{d_k}為等比數(shù)列；
（2）解：分k為奇數(shù)和k為偶數(shù)利用二項式定理展開d_k與d_k+1，可得k為奇數(shù)時，集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素個數(shù)為

3(4k+1)

5

；k為偶數(shù)時，集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素個數(shù)為

3(4k-1)

5

．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{

Sn

n

}是首項為0，公差為

1

2

的等差數(shù)列，
∴

Sn

n

=0+

1

2

(n-1)，即Sn=

n(n-1)

2

．
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

n(n-1)

2

-

(n-1)(n-2)

2

=n-1，
a₁=0適合上式，∴a_n=n-1．
又b_n=

4

15

•(-2)an，∴bn=

4

15

•(-2)n-1(n∈N*)，
∴b2k-1=

4

15

•(-2)2k-2，b2k=

4

15

•(-2)2k-1，b2k+1=

4

15

•(-2)2k，
由2b_2k-1=b_2k+b_2k+1 及b_2k＜b_2k-1＜b_2k+1，得b_2k，b_2k-1，b_2k+1依次成遞增的等差數(shù)列．
∴dk=b2k+1-b2k-1=

4

15

•(-2)2k-

4

15

•(-2)2k-2=

4k

5

．
滿足

dk+1

dk

=4為常數(shù)，
∴數(shù)列{d_k}為等比數(shù)列；

（2）解：①當k為奇數(shù)時，dk=

4k

5

=

(5-1)k

5

=

5k- C 1 k 5k-1+ C 2 k 5k-2-…+(-1)k

5

=5k-1-

C

1 k

5k-2+

C

2 k

5k-3-…-

1

5

．
同樣可得：dk+1=

4k+1

5

=

(5-1)k+1

5

=5k-

C

1 k+1

5k-1+

C

2 k+1

5k-2-…+

1

5

．
∴集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素個數(shù)為(dk+1-

1

5

)-(dk+

1

5

)+1=dk+1-dk+

3

5

=

3(4k+1)

5

；
②當k為偶數(shù)時，同理可得集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素個數(shù)為

3(4k-1)

5

．
綜上，當k為奇數(shù)時，集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素個數(shù)為

3(4k+1)

5

；
當k為偶數(shù)時，集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素個數(shù)為

3(4k-1)

5

．

點評：本題是等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合題，考查了等差關系與等比關系的確定，訓練了二項式定理的應用，是中檔題．