Question

設(shè)C₁：y²=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)F₁，焦點(diǎn)為F₂；橢圓C₂以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，離心率e=

1

2

．設(shè)P是C₁，C₂的一個(gè)交點(diǎn)．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求橢圓C₂的方程；
（2）在（1）的條件下，直線l過C₂的右焦點(diǎn)F₂，與C₁交于A₁，A₂兩點(diǎn)，且|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周長，求l的方程；
（3）求所有正實(shí)數(shù)m，使得△PF₁F₂的邊長是連續(xù)正整數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）m=1時(shí)，F(xiàn)₂（1，0），由此能求出橢圓方程3x²+4y²=12．
（2）l：y=k（x-1），聯(lián)立消元得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由此利用弦長公式能求出直線的斜率，問題得以解決．
（3）設(shè)橢圓長半軸為a，半焦距為c，由題設(shè)有c=m，a=2m，|F₁F₂|=2m．設(shè)|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，有r₁+r₂=2a=4m，設(shè)P（x₀，y₀），對于拋物線C₁，r₂=x₀+m．由此能推導(dǎo)出使得三角形PF₁F₂的邊長是連續(xù)正整數(shù)的m的值．

解答： 解．（1）∵y²=4mx（m＞0），
∴m=1時(shí)，F(xiàn)₂（1，0），
∵c=1，e=

1

2

，
∴a=2，b²=a²-c²=3，
故橢圓C₂的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
即3x²+4y²=12．
（2）依題意知直線l存在斜率，設(shè)l：y=k（x-1），聯(lián)立

y2=4x y=k(x-1)

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
∵直線l與拋物線C₁有兩個(gè)交點(diǎn)，∴k≠0，
設(shè)A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），弦A₁A₂的中點(diǎn)M（x，y），
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁•x₂=1，
則|A₁A₂|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4(1+k2)

k2

三角形PF₁F₂的周長=2a+2c=6，
∴

4(1+k2)

k2

=6，
解得k=±

2

，
∴y=

2

x-

2

）或y=-

2

x+

2

，
（3）設(shè)橢圓長半軸為a，半焦距為c，由題設(shè)有c=m，a=2m，|F₁F₂|=2m．
又設(shè)|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，有r₁+r₂=2a=4m
設(shè)P（x₀，y₀），對于拋物線C₁，r₂=x₀+m；
對于橢圓C₂，

r2

a2 c -x0

=e=

1

2

，
即r₂=

1

2

（4m-x₀），
∴x₀+m=

1

2

（4m-x₀），
解得x₀=

2

3

m，
∴r₂=

5

3

m，從而 r₁=

7

3

m，
因此，三角形PF₁F₂的邊長分別是

5

3

m，

6

3

m，

7

3

m，
當(dāng)m=3時(shí)，邊長為5，6，7符合題意，
當(dāng)m=3的倍數(shù)，均不適合．
故正實(shí)數(shù)m=3，使得△PF₁F₂的邊長是連續(xù)正整數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查直線斜率的求法，考查使得三角形周長是連續(xù)正整數(shù)的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，屬于難題．