Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的非常值函數(shù)，且對任意的x，y∈R有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）證明：f（0）=1；
（2）設(shè)A={（x，y）|f（x²）f（y²）＜f（1）}，B={（x，y）|f（x+y+m）=1}，若f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)，且A∩B=∅，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合法

分析：（1）用特殊值法，在f（x+y）=f（x）f（y）中，令y=0得f（x）=f（x）•f（0），分析即可得f（0）=1，即得到證明；
（2）根據(jù)題意，分析f（x²）f（y²）＜f（1）可得f（x²+y²）＜f（1），進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性由f（x²+y²）＜f（1）可得x²+y²＜1，又f（x+y+m）=1可得f（x+y+m）=f（0）?x+y+m=0，分析其幾何意義，將其轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系，計算可得答案．

解答： 解：（1）證明：
根據(jù)題意，在f（x+y）=f（x）f（y）中，令y=0得f（x）=f（x）•f（0），
又由f（x）不是常數(shù)，故f（0）=1；
（2）對于集合A={（x，y）|f（x²）f（y²）＜f（1）}，
由f（x+y）=f（x）f（y）可得f（x²+y²）＜f（1），
又由f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)，則x²+y²＜1，
可以看出集合A表示原點為圓心，1為半徑的圓內(nèi)部分（不包括邊界），
對于集合B，由f（0）=1，
則f（x+y+m）=1?f（x+y+m）=f（0）?x+y+m=0，
集合B表示直線x+y+m=0，
若A∩B=∅，即直線與圓沒有交點，
即A∩B=∅?

|0+0+m|

2

≥1．
解可得m≤-

2

或m≥

2

，
故m的取值范圍是（-∞，-

2

]∪[

2

，+∞）．

點評：本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，涉及直線與圓的位置關(guān)系和集合的表示法，關(guān)鍵是分析集合元素的意義，將其轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系．