Question

如圖在四錐P-ABCD中，CD⊥平面PAD，CD∥AB，AB=2CD，PD=AD，E為PB中點(diǎn)．證明：
（Ⅰ）CE∥平面PAD．
（Ⅱ）PA⊥平面CDE．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面垂直的判定,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取PA的中點(diǎn)F，先通過(guò)證明出CDEF為平行四邊形，進(jìn)而證明出CE∥DF，最后通過(guò)線(xiàn)面平行的判定定理證明出CE∥平面PAD．
（Ⅱ）先分別證明出CD⊥PA，CE⊥PA，最后利用線(xiàn)面垂直的判定定理證明出PA⊥平面CDE．

解答： 證明：（Ⅰ）取PA的中點(diǎn)F，連接DF，EF，
∵E時(shí)PB的中點(diǎn)，
∴在△PAB中有EF∥AB，且EF=

1

2

AB．
又CD∥AB，AB=2CD，
∴CD∥EF，CD=EF，
∴四邊形CDEF為平行四邊形，
∴CE∥DF，
∵CE?平面PAD，DF?平面PAD，
∴CE∥平面PAD．
（Ⅱ）∵CD⊥平面PAD，PA?平面PAD，
∴CD⊥PA，
∵△PAD中，PD=AD，F(xiàn)為PA的中點(diǎn)，
∴DF⊥PF，
∵CE∥DF，
∴CE⊥PA，
∵CE∩CD=C，CE?平面CDE，CD?平面CDE，
∴PA⊥平面CDE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線(xiàn)面垂直和線(xiàn)面平行的判定定理的應(yīng)用．一般規(guī)律是從低維到高維，即先證明線(xiàn)線(xiàn)垂直或平行．