在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,且△ABC為正三角形,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),BC=BB1
(1)求證:A1C∥平面AB1D;
(2)M為棱CC1的中點(diǎn),試證明:MB⊥AB1
考點(diǎn):直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面平行的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:(1)連接A1B交AB1于E,從而得到ED是三角形的中位線,由此能證明A1C∥平面AB1D.
(2)由BC=BB1,得AB1⊥A1B,連結(jié)EM,得EM⊥平面A1B1BA,從而得到A1C⊥EM,進(jìn)而得到A1C⊥平面A1BM,由此能證明MB⊥AB1
解答: 證明:(1)連接A1B交AB1于E,
由題意知E是A1B中點(diǎn),
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),∴在△A1CB中ED是三角形的中位線,
∴ED∥A1C,
∵ED?平面AB1D,A1C不包含于平面AB1D,
∴A1C∥平面AB1D.
(2)∵BC=BB1,∴A1B1BA是菱形,∴AB1⊥A1B,
連結(jié)EM,AM,B1M,BM,A1M,
∵E是AB1中點(diǎn),M是CC1中點(diǎn),
∴EM⊥平面A1B1BA,∴A1C⊥EM,
∴A1C⊥平面A1BM,
∵M(jìn)B?平面A1BM,∴MB⊥AB1
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面平行的證明,考查異面直線垂直的證明,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
2
-y2=1,則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是( 。
A、(±1,0)
B、(±
3
,0)
C、(0,±
3
D、(0,±1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a2+b2=2014c2,則
tanC
tanA
+
tanC
tanB
=( 。
A、
2
2013
B、
1
2013
C、
2
2014
D、
1
2014

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=
1-x
+
x+5
的最大值為M,最小值為m,則
M
m
的值為(  )
A、
1
4
B、
1
2
C、
2
2
D、
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若矩陣A有特征值λ1=2,λ2=-1,它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為
α1
=
1
0
,
α2
=
0
1

(1)求矩陣A及逆矩陣A-1
(2)若
β
=
1
16
,試求A100
β

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC中點(diǎn),AA1=AB=a.
(Ⅰ)求證:AD⊥B1D;
(Ⅱ)求二面角B1-AD-B余弦值的大小;
(Ⅲ)求三棱錐C-AB1D的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知等差數(shù)列{an},公差d<0,設(shè)bn=(
1
2
 an,又已知b1+b2+b3=
21
8
,b1•b2•b3=
1
8
,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系中,已知A(4,0),B(0,2),C(0,-2),點(diǎn)E在線段AB(不含端點(diǎn))上,點(diǎn)F在線段CD上,E、O、F三點(diǎn)共線.
(1)若F為線段CD的中點(diǎn),證明:
OE
AB
;
(2)小題(1)的逆命題是否成立?說明理由;
(3)設(shè)
AE
EB
,
DF
FC
(λ、μ∈R),求λμ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某農(nóng)場預(yù)算用5600元購買單價(jià)為50元(每噸)的鉀肥和20元(每噸)的氮肥,希望使兩種肥料的總數(shù)量(噸)盡可能的多,但氮肥數(shù)不少于鉀肥數(shù),且不多于鉀肥數(shù)的1.5倍.
(1)設(shè)買鉀肥x噸,買氮肥y噸,按題意列出約束條件、畫出可行域,并求鉀肥、氮肥各買多少才行?
(2)設(shè)點(diǎn)P(x,y)在(1)中的可行域內(nèi),求t=
y+20
x-10
的取值范圍.

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