Question

如圖所示，已知四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中點(diǎn)． (1) 證明：平面PAD⊥平面PCD (2) 求AC與PB所成的角 (3) 求平面AMC與平面BMC所成二面角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：方法一　∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD， 　　∴由三垂線定理，得CD⊥PD． ∴CD與平面PAD內(nèi)兩條相交直線AD、PD都垂直，∴CD⊥平面PAD． 又CD平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD． 　　方法二：因為PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD長為單位長度，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，M(0，1，)．∵=(0，0.1)， =(0，1，0)，∴·=0，∴AP⊥DC．又由題設(shè)知AD⊥DC， 　　且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC⊥平面PAD．又DC在平面PCD上，故平面PAD⊥平面PCD．
(2)	方法一：如圖所示，過點(diǎn)B作BE∥CA，且BE=CA，則∠PBE是AC與PB所成的角． 　　連結(jié)AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB－2，∴四邊形ACBE為正方形． 　　由PA⊥平面ABCD得∠PEB=， 　　在Rt△PEB中，BE=，PB=， 　　∴cos∠PBE==， 　　∴AC與PB所成的角為arcco． 　　方法二：∵=(1，1，0)，=(0，2，－1)，∴｜｜=，｜｜=，·=2，∴cos＜，＞==． 　　由此得AC與PB所成的角為arccos．
(3)	方法一：作AN上CM，垂足為N，連結(jié)BN．在Rt△PAB中，AM=MB，又AC—CB， 　　∴△AMC≌△BMC， 　　∴BN⊥CM，故∠ANB為所求二面角的平面角． 　　∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥ PC， 　　在Rt△PCB中，CM=MB，∴CM=AM． 　　在等腰三角形AMC中， 　　AN·MC=·AC 　　∴AN== 　　∵AB=2 　　∴cos∠ANB==－． 　　故所求的二面角為π－arccos 　　方法二：在MC上取一點(diǎn)N(x，y，z)，則存在λ∈R，使=λ，=(1－x，1－y，－z)，=(1，0，－)．∴x=1－λ，y=1，x=λ． 　　要使AN⊥MC，只需·=0，即x－z=0，解得λ=． 　　可知λ=時，N點(diǎn)坐標(biāo)為(，1，)，能使·=0． 　　此時，=(，1，)，=(，－1，)，有·=0 　　由·=0，·=0得AN⊥MC，BN⊥MC，所以∠ANB為所求二面角的平面角 　　∵｜｜=，｜｜=，·=－． 　　∴cos(·)==－． 　　故所求的二面角為π－arccos． 　　點(diǎn)評：本題主要考查直線與平面垂直，直線與平面所成角的有關(guān)知識，以及空間想像能力和應(yīng)用向量知識解決問題的能力．