Question

已知函數(shù)f(x)＝x²＋ln x－1.
(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e](e為自然對(duì)數(shù)的底)上的最大值和最小值；
(2)求證：在區(qū)間(1，＋∞)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)＝x³的圖象的下方
(3)(理)求證：[f′(x)]ⁿ－f′(xⁿ)≥2ⁿ－2(n∈N^*)

Answer 1

(1)∵f′(x)＝x＋，
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f′(x)>0.∴函數(shù)f(x)在[1，e]上為增函數(shù)，
∴f(x)_max＝f(e)＝e²，f(x)_min＝f(1)＝－.
(2)證明：令F(x)＝f(x)－g(x)＝x²＋ln x－1－x³
則F′(x)＝x＋－2x²＝
＝.
∵當(dāng)x>1時(shí)F′(x)<0，∴函數(shù)F(x)在區(qū)間(1，＋∞)上為減函數(shù)，∴F(x)<F(1)＝－1－<0，
即在(1，＋∞)上，f(x)<g(x)．
∴在區(qū)間(1，＋∞)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)＝x³的圖象的下方．
(3)(理)證明：∵f′(x)＝x＋，
當(dāng)n＝1時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)n≥2時(shí)，
∵[f′(x)]ⁿ－f′(xⁿ)＝ⁿ－
＝Cx^n－2＋Cx^n－3＋…＋C，①
[f′(x)]ⁿ－f′(xⁿ)＝C＋C＋…＋Cx^n－2，②
①＋②得[f′(x)]ⁿ－f′(xⁿ)＝
≥C＋C＋…＋C＝2ⁿ－2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)“＝”成立)．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，不等式成立．
綜上所述得[f′(x)]ⁿ－f′(xⁿ)≥2ⁿ－2(n∈N_＋)． 

略