Question

14．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，其角A，B，C的對邊分別為a，b，c，求證：（a+b）^-1+（b+c）^-1=3（a+b+c）^-1．

Answer 1

分析 利用余弦定理證明即可．

解答 證明：要證（a+b）^-1+（b+c）^-1=3（a+b+c）^-1成立，
即證$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$成立，即證$\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}=3$，即證c²+a²-b²=ac，…（6分）
因?yàn)椤鰽BC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B=60°，
故$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{1}{2}$，
所以c²+a²-b²=ac，所以原等式成立．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．