Question

19．已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足條件：S_n+a_n=$\frac{{n}^{2}+1}{{n}^{2}+n}$．
（1）求a₁、a₂、a₃的值；
（2）猜測數列{a_n}的通項公式，并給出證明；
（3）求$\underset{lim}{n→∞}$n²a_n．

Answer 1

分析 （1）直接根據S_n+a_n=$\frac{{n}^{2}+1}{{n}^{2}+n}$求得a₁，a₂，a₃；
（2）觀察前三項，猜得a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，再用數學歸納法證明；
（3）將a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$代入求極限．

解答 解：（1）根據S_n+a_n=$\frac{{n}^{2}+1}{{n}^{2}+n}$．得S₁+a₁=1，所以，a₁=$\frac{1}{2}$，
所以，a₂=$\frac{1}{6}$，a₃=$\frac{1}{12}$，a₄=$\frac{1}{20}$；
（2）由（1）可以猜測a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，下面用數學歸納法證明，
①當n=1時，左邊=S_n+a_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，右邊=$\frac{{n}^{2}+1}{{n}^{2}+n}$=1，猜測成立；
②假設當n=k（k∈N^*）時猜測成立，即a_k=$\frac{1}{k（k+1）}$，S_k=$\frac{k^2+1}{k^2+k}$-a_k，
則當n=k+1時，S_k+1+a_k+1=S_k+2a_k+1=$\frac{（k+1）^2+1}{（k+1）^2+（k+1）}$，
即2a_k+1=$\frac{（k+1）^2+1}{（k+1）^2+（k+1）}$-$\frac{k^2+1}{k^2+k}$，
解得a_k+1=$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$，
所以，n=k+1時，猜測成立，
綜合①②得，對全體正整數n都有a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$；
（3）因為a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，所以，
$\underset{lim}{n→∞}$（n²•a_n）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n^2}{n（n+1）}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n}{n+1}$=1．

點評 本題主要考查了運用歸納推理的方法得出數列的通項公式，再用數學歸納法證明，以及數列極限的解法，屬于中檔題．