Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-a

x2+2

，其中a∈[-1，1]，若a=0，t∈[-1，1]，求滿足f（t）+f（1-t2）＞0的實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：a=0時(shí)求出f（x），f′（x）=

-2x2+4

(x2+2)2

，令f′（x）=0得，x=±

2

，所以得到f（x）在(-

2

，

2

)上單調(diào)遞增．根據(jù)t∈[-1，1]，容易得到-1≤t²-1≤0，并且可判斷f（x）在R上是奇函數(shù)，所以可將原不等式變成，f（t）＞f（t²-1），根據(jù)f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性便可得到t＞t²-1，解該不等式并將所得解和[-1，1]求交集即可得到t的取值范圍．

解答： 解：a=0時(shí)，f′（x）=

-2x2+4

(x2+2)2

；
令-2x²+4=0得，x=±

2

；
∴x∈（-

2

，

2

）時(shí)，f′（x）＞0，即f（x）在(-

2

，

2

)上單調(diào)遞增；
∵-1≤t≤1，∴0≤t²≤1，-1≤t²-1≤0；
即t，t²-1都在f（x）的單調(diào)增區(qū)間上，并且容易判斷f（x）在R上是奇函數(shù)，∴由原不等式得：
f（t）＞f（t²-1）；
∴根據(jù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增得：
t＞t²-1，解得

1- 5

2

＜t＜

1+ 5

2

，∵t∈[-1，1]，∴

1- 5

2

＜t≤1；
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是(

1- 5

2

，1]．

點(diǎn)評：考查通過判斷函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號來判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，奇函數(shù)的定義，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式的方法．