Question

1．已知單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為120°，且|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$，則|$\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{a}$|的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{3}{2}$，+∞）
• B． [$\sqrt{3}$，3]
• C． [$\sqrt{3}$，+∞）
• D． [$\frac{3}{2}$，3]

Answer 1

分析 由題意將所用的向量放到坐標(biāo)系中用坐標(biāo)表示，借助于兩點(diǎn)之間的距離公式以及幾何意義，即可得到最值．

解答 解：由單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為120°，
可設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），可設(shè)A（1，0），B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y），即C（x，y），
由于|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$，
則 $\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x+\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即（x，y）到A（1，0）和B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）的距離和為$\sqrt{3}$，
由于|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{2}）^{2}+（0-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即表示點(diǎn)A（1，0）和B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）之間的線段，
則|$\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$表示D（-2，0）到線段AB上點(diǎn)的距離，
最小值是點(diǎn)D（-2，0）和B的距離，即為$\sqrt{3}$；
最大值為D（-2，0）到A（1，0）的距離是3．
則|$\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{a}$|的取值范圍是[$\sqrt{3}$，3]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、兩點(diǎn)之間的距離公式，關(guān)鍵是利用幾何意義和坐標(biāo)法解決．