Question

13．已知$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{i}$+tanθ$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow$=$\overrightarrow{i}$-tanθ$\overrightarrow{j}$，θ∈[0，π），若$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$的夾角是銳角，則θ的取值范圍$（0，\frac{π}{4}]$∪$[\frac{3π}{4}，π）$．

Answer 1

分析 ∵$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$的夾角是銳角，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=（1，tanθ）•（1，-tanθ）=1-tan²θ＞0，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不同向共線，θ∈[0，π），解出即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$的夾角是銳角，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=（1，tanθ）•（1，-tanθ）=1-tan²θ＞0，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不同向共線．
又θ∈[0，π），
解得θ∈$（0，\frac{π}{4}]$∪$[\frac{3π}{4}，π）$．
故答案為：$（0，\frac{π}{4}]$∪$[\frac{3π}{4}，π）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量共線定理、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．