Question

13．若橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）上存在一點M，使得∠F₁MF₂=90°（F₁，F₂為橢圓的兩個焦點），求橢圓的離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析 利用已知條件列出不等式，推出bc的關系，然后求出離心率的范圍．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）上存在一點M，使得∠F₁MF₂=90°（F₁，F₂為橢圓的兩個焦點），
可得b≤c，
∴a²-c²≤c²，
∴a²≤2$\frac{1}{2}$c²，
∴e²≥$\frac{1}{2}$，
∴e∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）；
故答案為：[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

點評 本題考查橢圓離心率的取值范圍，考查橢圓的方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題