Question

1．已知方程sinθ•x²+cosθ•x-1=0有兩個實數(shù)根m，n，那么過點M（m，m²）和N（n，n²）（m≠±n）的直線與圓O：x²+y²=1的位置關(guān)系是（　�。�

• A． 相交
• B． 相切
• C． 相離
• D． 隨θ的變化而變化

Answer 1

分析 由m，n為已知方程的兩個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式大于0表示出m+n與mn，表示出直線MN解析式，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，比較d與r的大小即可做出判斷．

解答 解：∵方程sinθ•x²+cosθ•x-1=0有兩個實數(shù)根m，n，
∴m+n=-cotθ，mn=-$\frac{1}{sinθ}$，△=cos²θ+4sinθ≥0
由圓的方程得到圓心（0，0），半徑r=1，
過兩點M（m，m²）和N（n，n²）（m≠±n）的直線方程為y-m²=（m+n）（x-m），
整理得：（m+n）x-y-mn=0，即-$\frac{cosθ}{sinθ}$x-y-$\frac{1}{sinθ}$=0，
∵圓心（0，0）到直線的距離d=$\frac{|-\frac{1}{sinθ}|}{\sqrt{\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}+1}}$=1，
∴直線與圓的位置關(guān)系是相切．
故選：B．

點評 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：韋達定理，點到直線的距離公式，以及直線的兩點式方程，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．