Question

2．函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\sqrt{{x}^{2}-6x+25}$取最小值時(shí)，x為$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\sqrt{{x}^{2}-6x+25}$，即求x軸上點(diǎn)（x，0）到兩定點(diǎn)（3，4），（0，-1）距離和的最小值，而兩點(diǎn)位于x軸的兩側(cè)，所以最小值即兩點(diǎn)的距離，再由三點(diǎn)共線，斜率相等，即可得到所求值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\sqrt{{x}^{2}-6x+25}$
=$\sqrt{（x-0）^{2}+[0-（-1）]^{2}}$+$\sqrt{（x-3）^{2}+（0-4）^{2}}$
表示x軸上點(diǎn)P（x，0）到兩定點(diǎn)A（3，4），B（0，-1）距離和，
而兩點(diǎn)位于x軸的兩側(cè)，所以最小值即兩點(diǎn)A，B的距離
$\sqrt{（3-0）^{2}+（4+1）^{2}}$=$\sqrt{34}$．
此時(shí)由k_AB=k_PB，即$\frac{4+1}{3-0}$=$\frac{0+1}{x-0}$，可得x=$\frac{3}{5}$．
故答案為：$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求函數(shù)的最小值，注意運(yùn)用幾何意義，借助兩點(diǎn)的距離最小，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．