Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{sinθ}{3}$x³+$\frac{\sqrt{3}cosθ}{2}$x²+tanθ，其中θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，則導(dǎo)數(shù)f′（1）的取值范圍是[1，2]．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1），利用輔助角公式化積后由θ得范圍求得答案．

解答 解∵f′（x）=sinθ•x²+$\sqrt{3}$cosθ•x，
∴f′（1）=sinθ+$\sqrt{3}$cosθ=2sin（θ+$\frac{π}{3}$）．
∵θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴θ+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]．
∴sin（θ+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]．
∴2sin（θ+$\frac{π}{3}$）∈[1，2]．
故答案為：[1，2]．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，考查了三角函數(shù)的值域，是基礎(chǔ)的計算題．