Question

已知數(shù)列

1

1×3

，

1

1×5

，

1

5×7

，

1

7×9

，…

1

(2n-1)×(2n+1)

，計(jì)算S₁，S₂，S₃，由此推測(cè)S_n的計(jì)算公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：利用條件計(jì)算S₁，S₂，S₃，由此推測(cè)S_n的計(jì)算公式；利用歸納法進(jìn)行證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答： 解：S₁=

1

3

，S₂=

2

5

，S₃=

3

7

，猜想：S_n=

n

2n+1

．
下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：①n=1時(shí)，成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，猜想成立，即S_k=

k

2k+1

，
則n=k+1時(shí)，S_k+1=

k

2k+1

+

1

(2k+1)(2k+3)

=

k+1

2(k+1)+1

，
∴n=k+1時(shí)猜想也成立
根據(jù)①②可知猜想對(duì)任何n∈N^*都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，證明故當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立，是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．