Question

已知O為坐標(biāo)原點，P（x，y）為函數(shù)y=1+lnx圖象上一點，記直線OP的斜率k=f（x）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+

1

2

）（m＞0）上存在極值，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)x≥1時，不等式f（x）≥

t

x+1

恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：創(chuàng)新題型

分析：（1）先根據(jù)斜率公式求f（x），再由極值確定m的取值范圍，（Ⅱ）恒成立問題通常轉(zhuǎn)化為最值問題．

解答： 解：（Ⅰ） 由題意知，k=f(x)=

1+lnx

x

， (x＞0)，
所以f′(x)=(

1+lnx

x

)′=-

lnx

x2

， (x＞0)
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
故f（x）在x=1處取得極大值．
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間(m，m+

1

2

)  (m＞0)上存在極值．
∴

0＜m＜1 m+ 1 2 ＞1

得

1

2

＜m＜1，即實數(shù)m的取值范圍是

1

2

＜m＜1．
（Ⅱ）  由題意 f(x)≥

t

x+1

得t≤

(x+1)(1+lnx)

x

，
令g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，(x≥1)，則 g′(x)=

x-lnx

x2

，(x≥1)，
令h（x）=x-lnx，（x≥1），則h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，
∵x≥1∴h′（x）≥0，
故h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）≥h（1）=1＞0從而g′（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）≥g（1）=2，
∴實數(shù)t的取值范圍是（-∞，2]．

點評：本題考查了學(xué)生對極值問題的掌握，同時考查了恒成立問題的處理方法，涉及到2次求導(dǎo)，相對比較難．