Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=-n²+2kn（k∈N₊），且S_n的最大值為4．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）令b_n=

5-an

2n

，求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用二次函數(shù)的性質可知n=-

2k

2(-1)

=k時，S_n有最大值4，求出k，再利用數(shù)列中a_n與 S_n關系：當n=1時，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1解決．
（2）由（1）知bn=

n

2n-1

，利用錯位相消法求和．

解答： 解：（1）由條件知n=-

2k

2(-1)

=k時，S_n有最大值4，所以-k²+2k•k=4k=2，k=-2（舍去）   由條件知Sn=-n2+4n當n=1時，a₁=S₁=3
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=5-2n經(jīng)驗證n=1時也符合a_n=5-2n
故數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=5-2n（n∈N₊）
（2）由（1）知bn=

n

2n-1

設數(shù)列{b_n}的前項和為T_nTn=

1

20

+

2

21

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

，

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n

2n

，
兩式相減得

1

2

Tn=

1

20

+

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

所以，Tn=4-(

1

2

)n-2-

n

2n-1

Tn=4-(

2+n

2n-1

)

點評：本題考查算了通項公式求解，錯位相消法數(shù)列求和，考查數(shù)列中a_n與 S_n關系的應用和計算能力．