Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，右焦點(diǎn)F₂到直線

x

a

+

y

b

=0的距離為1．
（1）求橢圓的C方程；
（2）已知直線y=k（x-2）（k≠0）與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，在軸x上是否存在定點(diǎn)E，使

EM

•

EM

為定值？若存在，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)和定值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意得e=

c

a

=

6

3

，

|bc|

a2+b2

=1，由此能求出橢圓的方程．
（2）由

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-2)

，得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出

EM

•

EN

=m2-6=-

5

9

為定值時，定點(diǎn)為E（

7

3

，0）．

解答： 解：（1）由e=

c

a

=

6

3

，得c=

6

3

a，①
又在右焦點(diǎn)F₂（c，0）到直線

x

a

+

y

b

=0的距離為d=1，
得

|bc|

a2+b2

=1，②
由①②，得a²=6，b²=2，
∴橢圓的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）由

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-2)

，得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴x1+x2=

12k2

1+3k2

，x1x2=

12k2-6

1+3k2

，
根據(jù)題意，假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)E（m，0），使得

EM

•

EN

為定值，
則有

EM

•

EN

=(x1-m，y1)•（x₂-m，y₂）=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂
=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2）（x₂-2）
=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+（4k²+m²）
=（k²+1）•

12k2-6

1+3k2

-（2k²+m）•

12k2

1+3k2

+(4k2+m2)
=

(3m2-12m+10)k2+(m2-6)

3k2+1

，
更使上式為定值，即與k無關(guān)，則應(yīng)使3m²-12m+10=3（m²-6），
解得m=

7

3

，此時

EM

•

EN

=m2-6=-

5

9

為定值，定點(diǎn)為E（

7

3

，0）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查使向量的數(shù)量積為定值的x軸上的定點(diǎn)是否存在的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．