Question

5．半橢圓$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（y≥0）$和半圓x²+y²=b²（y≤0）組成曲線C，其中a＞b＞0，如圖所示，曲線C交x軸于A，B兩點，交y軸負半軸于點G．橢圓$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F(xiàn)是它的一個焦點，點P是曲線C位于x軸上方的任意一點，且△PFG的周長是$2\sqrt{2}+2$．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若M是半圓x²+y²=b²（y≤0）除A，B外任意一點，C（-b，a），D（b，a），連接MC，MD分別交AB于點E，F(xiàn)，求|AE|²+|BF|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用橢圓的離心率公式和a，b，c的關系，可得b=c，即有G為橢圓的焦點，由橢圓的定義，可得a=2，b=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，C（-1，$\sqrt{2}$），D（1，$\sqrt{2}$），設M（cosθ，sinθ），θ∈（π，2π），由直線AC方程可得E、F的坐標，運用兩點的距離公式，結合三角函數(shù)的恒等變換和正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得到取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）橢圓$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由a²-b²=c²，可得b=c，
故G為橢圓的一個焦點，即有F（0，c），G（0，-c），
由橢圓的定義可得△PFG的周長為2a+2c=2$\sqrt{2}$+2，
解得a=2，b=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，C（-1，$\sqrt{2}$），D（1，$\sqrt{2}$），
設M（cosθ，sinθ），θ∈（π，2π），
則直線AC：y-$\sqrt{2}$=$\frac{sinθ-\sqrt{2}}{cosθ+1}$（x+1），
令y=0，可得E（$\frac{-\sqrt{2}cosθ-sinθ}{sinθ-\sqrt{2}}$，0），
同理求得F（$\frac{-\sqrt{2}cosθ+sinθ}{sinθ-\sqrt{2}}$，0），
|AE|²+|BF|²=（$\frac{-\sqrt{2}（cosθ+1）}{sinθ-\sqrt{2}}$）²+（$\frac{\sqrt{2}（cosθ-1）}{sinθ-\sqrt{2}}$）²=$\frac{2（2co{s}^{2}θ+2）}{（sinθ-\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{4（2-si{n}^{2}θ）}{（sinθ-\sqrt{2}）^{2}}$
=4•$\frac{\sqrt{2}+sinθ}{\sqrt{2}-sinθ}$=-4（1+$\frac{2\sqrt{2}}{sinθ-\sqrt{2}}$），
令u=sinθ∈[-1，0]，
|AE|²+|BF|²=-4（1+$\frac{2\sqrt{2}}{u-\sqrt{2}}$）是[-1，0]上的單調(diào)增函數(shù)．
則|AE|²+|BF|²=∈[12-8$\sqrt{2}$，4）即為所求．

點評 本題考查橢圓和圓的定義和方程的運用，主要考查橢圓的定義和圓的參數(shù)方程的運用，考查三角函數(shù)的恒等變換公式的運用和正弦函數(shù)的單調(diào)性的運用，屬于中檔題．