Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）寫出直線和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）過(guò)動(dòng)點(diǎn)且平行于的直線交曲線于兩點(diǎn)，若，求動(dòng)點(diǎn)到直線的最近距離．

Answer 1

【答案】（1）直線：；曲線：；（2）．

【解析】

（1）運(yùn)用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系，以及兩角差的正弦公式，化簡(jiǎn)可得所求直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)出過(guò)且平行于的直線的參數(shù)方程，代入拋物線方程，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用韋達(dá)定理和參數(shù)的幾何意義，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和二次函數(shù)的最值求法，可得所求最值．

（1）直線的極坐標(biāo)方程為，即為，

即，可得，即；

曲線的極坐標(biāo)方程為，即為，

可得；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)且平行于的直線的參數(shù)方程設(shè)為（為參數(shù)），

代入拋物線方程，可得，

設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，可得，

又，即有，

由，可得，即，

到直線的距離：

，

當(dāng)，時(shí)，動(dòng)點(diǎn)到直線的最近距離為．