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【題目】已知直線過橢圓的右焦點,且交橢圓于AB兩點,線段AB的中點是

1)求橢圓的方程;

2)過原點的直線l與線段AB相交(不含端點)且交橢圓于C,D兩點,求四邊形面積的最大值.

【答案】12

【解析】

1)由直線可得橢圓右焦點的坐標為,由中點可得,且由斜率公式可得,由點在橢圓上,,二者作差,進而代入整理可得,即可求解;

2)設直線,到直線的距離為,則四邊形的面積為,代入橢圓方程,再利用弦長公式求得,利用點到直線距離求得,根據直線l與線段AB(不含端點)相交,可得,,進而整理換元,由二次函數性質求解最值即可.

1)直線x軸交于點,所以橢圓右焦點的坐標為,故,

因為線段AB的中點是,

,則,且,

,作差可得,

,得

,

所以,

因此橢圓的方程為.

2)由(1)聯(lián)立,解得,

不妨令,易知直線l的斜率存在,

設直線,代入,得,

解得,

,則,

,

因為到直線的距離分別是,

由于直線l與線段AB(不含端點)相交,所以,即,

所以,

四邊形的面積,

,,則,

所以,

,即時,

因此四邊形面積的最大值為.

練習冊系列答案
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