Question

8．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}的各項均為正數(shù)，且對任意n∈N^*，都有b_n，a_n，b_n+1成等差數(shù)列．a(chǎn)_n，b_n+1，a_n+1成等比數(shù)列，且b₁=6，b₂=12．
（I）求證：數(shù)列$\left\{{\sqrt{a_n}}\right\}$是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求．a(chǎn)_n，b_n．

Answer 1

分析 （I）由等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的中項，即可證明數(shù)列$\left\{{\sqrt{a_n}}\right\}$是等差數(shù)列；
（Ⅱ）運用等差數(shù)列的通項公式，求出$\sqrt{{a}_{n}}$，可得a_n，再由（Ⅰ）中的結(jié)論，即可得到b_n．

解答 （I）證明：∵a_n，b_n+1，a_n+1成等比數(shù)列
∴b_n+1²=a_n•a_n+1，（n∈N^*）
∴b_n+1=$\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，
∴b_n=$\sqrt{{a}_{n}{a}_{n-1}}$，（n≥2）
∵b_n，a_n，b_n+1成等差數(shù)列，
∴2a_n=b_n+b_n+1，（n∈N^*）
∴2a_n=$\sqrt{{a}_{n}{a}_{n-1}}$+$\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\sqrt{{a}_{n}}$（$\sqrt{{a}_{n+1}}$+$\sqrt{{a}_{n-1}}$），（n≥2）
2$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{{a}_{n-1}}$+$\sqrt{{a}_{n+1}}$，（n≥2），
∴數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列．
（Ⅱ）解：∵b₁=6，b₂=12，
∴2a₁=b₁+b₂=18，即a₁=9，
a₂=$\frac{{_{2}}^{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1{2}^{2}}{9}$=16，
∴數(shù)列$\left\{{\sqrt{a_n}}\right\}$的公差d=$\sqrt{{a}_{2}}$-$\sqrt{{a}_{1}}$=4-3=1，
$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+（n-1）d=n+2，
即有a_n=（n+2）²，
又n≥2時，b_n=$\sqrt{{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\sqrt{（n+2）^{2}（n+1）^{2}}$
=（n+1）（n+2），
又b₁=6適合上式．
∴b_n=（n+1）（n+2）．

點評 本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．