在△ABC中，AB=4，AC=3，M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）用
AB
，
AC
表示
BN
，
CM
；
（Ⅱ）若∠BAC=60°，求
BN
•
CM
的值；
（Ⅲ）若BN⊥CM，求cos∠BAC．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（I）利用向量的三角形法則和共線定理即可得出；
（II）利用數(shù)量積的定義可得
AB
•
AC
=|
AB
| |
AC
|cos∠BAC．再利用數(shù)量積的性質(zhì)可得
BN
•
CM
=(
1
2
AC
-
AB
)•(
1
2
AB
-
AC
)=
5
4
AB
•
AC
-
1
2
AB
2-
1
2
AC
2．
（III）由BN⊥CM，可得
BN
•
CM
=0，再利用（II）和向量的夾角公式即可得出．
解答： 解：（I）∵M(jìn)，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，
∴
BN
=
BA
+
AN
=-
AB
+
1
2
AC
，
CM
=
AM
-
AC
=
1
2
AB
-
AC
．
（II）∵∠BAC=60°，AB=4，AC=3，
∴
AB
•
AC
=|
AB
| |
AC
|cos∠BAC=4×3×cos60°=6．
由（I）可得
BN
•
CM
=(
1
2
AC
-
AB
)•(
1
2
AB
-
AC
)=
5
4
AB
•
AC
-
1
2
AB
2-
1
2
AC
2=
5
4
×6-
1
2
×42-
1
2
×32=-5．
（III）由（II）可得
BN
•
CM
=
5
4
AB
•
AC
-
1
2
AB
2-
1
2
AC
2．
∵BN⊥CM，∴
BN
•
CM
=0．
∴
5
4
AB
•
AC
-
1
2
×42-
1
2
×32=0，化為
AB
•
AC
=10．
∴10=4×3×cos∠BAC，
∴cos∠BAC=
5
6
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的三角形法則、和共線定理、數(shù)量積的定義及其性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量的夾角公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
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設(shè)U={x|x為不大于6的自然數(shù)}，A={2，3，5}，B={x|x2-6x+8=0}，求∁U（A∪B），（∁UA）∪（∁UB）．

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在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，直線l：y=
3
與橢圓C相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)AB是橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P（-1，
3
2
）滿足
PA
+
PB
=λ
PO
（0＜λ＜4且λ≠2），求直線AB的斜率．

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已知函數(shù)f（x）=x2（x-a）（a∈R），
（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，求f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若存在x0∈[1，2]時(shí)，使得不等式f（x0）＜-1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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如圖，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．
（Ⅰ）求異面直線AD1與BD所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值．

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在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1=8，AC=AB=5，BC=6，點(diǎn)A1在底面ABC的投影是線段BC的中點(diǎn)O，在側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)E，且OE⊥B1C．
（1）證明：OE⊥面BB1C1C．
（2）求出AE的長(zhǎng)；
（3）求二面角A1-B1C-C1的大小．

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將一枚質(zhì)地均勻且四個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4的正四面體先后拋擲兩次，其底面落于桌面上，記第一次朝下面的數(shù)字為x，第二次朝下面的數(shù)字為y．用（x，y）表示一個(gè)基本事件．
（Ⅰ）請(qǐng)寫出所有的基本事件；
（Ⅱ）求滿足條件“
x
y
為整數(shù)”的事件的概率；
（Ⅲ）求滿足條件“x-y＜2”的事件的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

五個(gè)人站成一排，求在下列條件下的不同排法種數(shù)：
（1）甲必須在排頭；
（2）甲、乙相鄰；
（3）甲不在排頭，并且乙不在排尾；
（4）其中甲、乙兩人自左向右從高到矮排列且互不相鄰．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若a＞0且a≠1，p=loga（a3+a+1），Q=loga（a2+a+1），則p，q的大小關(guān)系是
 
．

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