Question

設(shè)雙曲線C：

y2

16

-

x2

b2

=1（b＞0）的上、下焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且雙曲線C的一條漸近線的一個方向向量

v

=（3，4），過下焦點(diǎn)F₁的直線l交雙曲線的下支于A，B兩點(diǎn)，則|BF₂|+AF₂|的最小值為（　�。�

• A、

  19

  2

• B、

  41

  2

• C、19
• D、41

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用曲線C的一條漸近線的一個方向向量

v

=（3，4），求出a，再利用雙曲線的定義，結(jié)合當(dāng)|AB|是雙曲線的通徑時|AB|最小，即可求出|BF₂|+AF₂|的最小值．

解答： 解：∵曲線C的一條漸近線的一個方向向量

v

=（3，4），
∴

4

b

=

4

3

，
∴b=3，
由雙曲線的定義可得：|AF₂|-|AF₁|=2a=8…①，
|BF₂|-|BF₁|=2a=8…②，
①+②可得：|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=16，
∵下焦點(diǎn)F₁的直線l交雙曲線的下支于A，B兩點(diǎn)，
∴|AF₁|+|BF₁|=|AB|，當(dāng)|AB|是雙曲線的通徑時|AB|最�。�
∴|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=|AF₂|+|BF₂|-|AB|=16．
∴|BF₂|+|AF₂|=|AB|+16≥

2b2

a

+16=

41

2

．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查雙曲線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用雙曲線的定義是關(guān)鍵．